数字特征 Digital Characteristics
数字特征
一、期望$
\begin{cases}
X \\
g(x) \\
g(x,y) \\
最值 \\
分解 X = X_1 + X_2 + … + X_N \\
性质
\end{cases}
$
- X
(1) X ~ $p_i$ => EX = $\sum_i x_i p_i$ $
\begin{cases}
有限项加 \\
无穷项加(无穷级数)
\end{cases}
$
(2) X ~ $f(x) => EX = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$ $
\begin{cases}
定积分 \\
反常积分
\end{cases}
$ - g(x)
(1) $ X ~ p_i , Y = g(X) => EY = g(x_i)p_i $
(2) $ X ~ f(x) , Y = g(X) => EY = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)dx$ - g(x,y)
(1) $(X,Y) ~ p_{ij}, z = g(X,Y) => EZ = \sum_i \sum_j g(x_i,y_j)p_{ij}$
(2) 重点理解:$(X,Y) ~ f(x,y) , z = g(X,Y) => EZ = \int_{-infty}^{+infty}\int_{-infty}^{+infty} g(x,y)f(x,y)dxdy$ - 最值
$X_i ~^{idd}
\begin{cases}
F(x) \\
f(x)
\end{cases}
$ - 分解
若 $X = X_1 + X_2 + … + X_n$
则 $EX = EX_1 + EX_2 + … + EX_n$ - 性质
(1) $Ea = a$
(2) $E(aX + bY) = aEX + bEY$ , $E(\sum_{i=1}^n a_i X_i) = \sum_{i=1}^n a_i EX_i$
(3) $X,Y 独立 => EXY = EXEY$
二、方差$
\begin{cases}
X \begin{cases}
定义 \\
定义法 \\
公式法
\end{cases}
最值 \\
分解 \\
性质
\end{cases}
$
- X
(1) 定义 $DX =^{\Delta} (X - EX)^2$
(2) 定义法 用期望的定义求方差
(3) 公式法 DX = EX^2 - (EX)^2 - 分解
若 $X = X_1 + X_2 + … + X_n$
则 $DX = DX_1 + DX_2 + … + DX_n + 2\sum_{1 <= i < j <= n}cov(X_i,X_j)$ $C_n^2$ - 性质
(1) DX >= 0 $EX^2 = DX + (EX)^2 >= (EX)^2$
(2) Dc = 0 , DX = 0 <=> p{X=a} = 1 几乎处处为常数 a.e. (测量不到的点有可能存在)
(3) $D(aX + b) = a^2 DX$
(4) $D(X +- Y) = DX + DY +- 2cov(X, Y)$
(5) X,Y 独立 => $D(aX+bY) = a^2 DY + b^2 DY$ , $D(XY) = DXDY + DX(EY)^2 + DY(EX)^2 >= DXDY$
(6) 任意c $DX = E(X - EX)^2 <= E(X - c)^2$
常用的 EX 、 DX
三、协方差 cov(X, Y)$
\begin{cases}
定义 \\
定义法 \\
公式法 \\
性质
\end{cases}
$
- 定义
- $cov(x,y) =^\Delta E(X - EX)(Y - EY)$ X, Y 之间的偏差程度
- 定义法
- $g(X,Y) = (X - a)(Y - b)$ 二维 X, Y 的函数期望
- $(X,Y) ~ p_{ij} => cov(X,Y) = \sum_j \sum_i (x_i - a)(y_j - b) p_{ij}$
- $(X,Y) ~ f(X,Y)$
- 公式法
$cov(x,y) = EXY - EXEY$ - 性质
$cov(X, Y) = cov(Y, X)$
$cov(aX, bY) = abcov(X, Y)$
$cov(X_1 + X_2, Y) = cov(X_1, Y) + cov(X_2, Y)$
四、相关系数 <= 1
独立性与相关性的判定$
\begin{cases}
用分布判独立 \\
用数字特征判相关 \\
程序 \\
重要结论
\end{cases}
$
切比雪夫不等式
请多多指教。
文章标题:数字特征 Digital Characteristics
本文作者:顺强
发布时间:2015-04-18, 23:59:00
原始链接:http://shunqiang.ml/probability-theory-digital-characteristics/版权声明: "署名-非商用-相同方式共享 4.0" 转载请保留原文链接及作者。