数字特征

一、期望$
\begin{cases}
X \\
g(x) \\
g(x,y) \\
最值 \\
分解 X = X_1 + X_2 + … + X_N \\
性质
\end{cases}
$

1. X
   (1) X ~ $p_i$ => EX = $\sum_i x_i p_i$ $
   \begin{cases}
   有限项加 \\
   无穷项加（无穷级数）
   \end{cases}
   $
   (2) X ~ $f(x) => EX = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$ $
   \begin{cases}
   定积分 \\
   反常积分
   \end{cases}
   $
2. g(x)
   (1) $ X ~ p_i , Y = g(X) => EY = g(x_i)p_i $
   (2) $ X ~ f(x) , Y = g(X) => EY = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)dx$
3. g(x,y)
   (1) $(X,Y) ~ p_{ij}, z = g(X,Y) => EZ = \sum_i \sum_j g(x_i,y_j)p_{ij}$
   (2) 重点理解：$(X,Y) ~ f(x,y) , z = g(X,Y) => EZ = \int_{-infty}^{+infty}\int_{-infty}^{+infty} g(x,y)f(x,y)dxdy$
4. 最值
   $X_i ~^{idd}
   \begin{cases}
   F(x) \\
   f(x)
   \end{cases}
   $
5. 分解
   若 $X = X_1 + X_2 + … + X_n$
   则 $EX = EX_1 + EX_2 + … + EX_n$
6. 性质
   (1) $Ea = a$
   (2) $E(aX + bY) = aEX + bEY$ , $E(\sum_{i=1}^n a_i X_i) = \sum_{i=1}^n a_i EX_i$
   (3) $X,Y 独立 => EXY = EXEY$

二、方差$
\begin{cases}
X \begin{cases}
定义 \\
定义法 \\
公式法
\end{cases}
最值 \\
分解 \\
性质
\end{cases}
$

1. X
   (1) 定义 $DX =^{\Delta} (X - EX)^2$
   (2) 定义法 用期望的定义求方差
   (3) 公式法 DX = EX^2 - (EX)^2
3. 分解
   若 $X = X_1 + X_2 + … + X_n$
   则 $DX = DX_1 + DX_2 + … + DX_n + 2\sum_{1 <= i < j <= n}cov(X_i,X_j)$ $C_n^2$
4. 性质
   (1) DX >= 0 $EX^2 = DX + (EX)^2 >= (EX)^2$
   (2) Dc = 0 , DX = 0 <=> p{X=a} = 1 几乎处处为常数 a.e. (测量不到的点有可能存在)
   (3) $D(aX + b) = a^2 DX$
   (4) $D(X +- Y) = DX + DY +- 2cov(X, Y)$
   (5) X,Y 独立 => $D(aX+bY) = a^2 DY + b^2 DY$ , $D(XY) = DXDY + DX(EY)^2 + DY(EX)^2 >= DXDY$
   (6) 任意c $DX = E(X - EX)^2 <= E(X - c)^2$

常用的 EX 、 DX

三、协方差 cov(X, Y)$
\begin{cases}
定义 \\
定义法 \\
公式法 \\
性质
\end{cases}
$

1. 定义
   • $cov(x,y) =^\Delta E(X - EX)(Y - EY)$ X, Y 之间的偏差程度
2. 定义法
   • $g(X,Y) = (X - a)(Y - b)$ 二维 X, Y 的函数期望
   • $(X,Y) ~ p_{ij} => cov(X,Y) = \sum_j \sum_i (x_i - a)(y_j - b) p_{ij}$
   • $(X,Y) ~ f(X,Y)$
3. 公式法
   $cov(x,y) = EXY - EXEY$
4. 性质
   $cov(X, Y) = cov(Y, X)$
   $cov(aX, bY) = abcov(X, Y)$
   $cov(X_1 + X_2, Y) = cov(X_1, Y) + cov(X_2, Y)$

四、相关系数 <= 1

独立性与相关性的判定$
\begin{cases}
用分布判独立 \\
用数字特征判相关 \\
程序 \\
重要结论
\end{cases}
$

切比雪夫不等式

协方差矩阵